质数的判定

质数也称素数,是指只能被其自身和1整数的正整数。

那么如何判断一个数是否为质数呢?可以用所有小于该数的正整数去试着除该数,若能整数,则不是质数;若这些数都不能整除它,则该数是质数。

要求

给定一个数n,要求判定是否为质数(0,1和负数都不是质数),若是则输出yes,否则输出no

代码

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#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

/*
* 判断一个数是否是质数(素数)
* */
bool Judge(int n){
if(n<2){ //小于2的数都不是质数
return false;
}
int bound = sqrt(n); // 代码优化,只需循环到根号n即可
for (int i = 2; i <= bound; ++i) {
if (n % i == 0) { //如果能被整除则不是质数,返回false
return false;
}
}
return true;
}
int main(){
int n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF){
if(Judge(n)){
printf("yes\n");
} else {
printf("no\n");
}
}
return 0;
}

质数筛法

知道如何判定一个质数后,那么如何找出0~100000之间的所有质数呢?依次枚举每个数,然后按照上文中的判断方法确定其是否为质数。这样做是可行的,但是时间复杂度太高了,这里有一种更好的方法,那就是质数筛法。

找到一个质数,它的所有倍数均标记为非质数;这样,当遍历到一个数时,若它未被任何小于它的数标记为非质数,则确定其为质数

例如:

有这样20个数(粗体为质数):

  • 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 (初始全部为标记为质数)

  • 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 (0,1为非质数排除)

  • 0,1,23,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20(2是质数,它的所有倍数均为非质数)

  • 0,1,23,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20(3是质数,它的所有倍数均为非质数)

这样很快就算出来[0,20]之间的质数了

要求

输出第k个质数(k<10000),如k=3时,输出5

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// Created by lxy on 2022/3/15.
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#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
vector<int> prime; //保存质数
bool isPrime[MAXN]; //用来判断该数是否为质数

/*
* 质数筛法
* */
void Initial(){
fill(isPrime, isPrime + MAXN, true);// 先假设所有数是质数
isPrime[0] = false; // 0不是质数
isPrime[1] = false; // 1不是质数
for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
if (!isPrime[i]) { // 不是质数就继续
continue;
}
prime.push_back(i);//是质数就添加到向量中
if (i > MAXN / i) { // 等价于i*i>MAXN预防i*i越界int,提前判断一下
continue;
}
for (int j = i*i; j < MAXN; j+=i) { //质数的倍数肯定是非质数
isPrime[j] = false;
}

}
}
int main(){
Initial();
int k;
while (scanf("%d", &k) != EOF) {
printf("%d\n", prime[k - 1]);
}
return 0;
}

质因子分解

什么是因子分解呢?

30=2 * 15

​ =5 * 6

​ =2 * 3 * 5 (所有因子都是质数时就称质因子分解)

通常使用短除法来求质因子:一个数不断的除以质数,直到等于1为止。例如:

120 / 2 = 60 (从第一个质数开始整除)

60 / 2 = 30

30 / 2 = 15

15 / 3 = 5 (此时2无法整除了,换下一个质数3)

5 / 5 = 1 (此时3也无法整除了,换下一个质数5)

所以 $120=2^3 * 3 * 5$
$对一个数x分解质因数就是确定质数p_1,p_2,···p_n,使其满足x=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}···p_n^{e_n}$

要求

求正整数N(1<N<10^9)的质因子的个数,相同的质因子需要重复计算。例如120=2 * 2 * 2 * 3 * 5,有5个质因子

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#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 4e4;
vector<int> prime;
bool isPrime[MAXN];

/*
* 质数筛法
* */
void Initial(){
fill(isPrime, isPrime + MAXN, true);// 先假设所有数是质数
isPrime[0] = false;
isPrime[1] = false;
for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
if (!isPrime[i]) { // 不是质数就继续
continue;
}
prime.push_back(i);//是质数就添加到向量中
if (i > MAXN / i) { // 预防i*i越界,提前判断一下
continue;
}
for (int j = i*i; j < MAXN; j+=i) {
isPrime[j] = false;
}

}
}
/*
* 求质因子个数
* */
int NumberOfPrimeFactors(int number){
int answer = 0;
for (int i = 0; i < prime.size(); ++i) {
int factor = prime[i];
if (number < factor) {
break;
}
int exponent = 0; //记录被除以的次数,即它的指数
while (number % factor == 0) { //不停的除以这个质数,直到不能整除为止
exponent++;
number /= factor;
}
answer += exponent;
}
if (number > 1) {// 还有一个大于根号number质因子
answer++;
}
return answer;
}
int main(){
Initial();
int number;
while (scanf("%d", &number) != EOF) {
printf("%d\n", NumberOfPrimeFactors(number));
}
return 0;
}

约数的个数

$质因数分解 x=p_1^{e_1}p_2^{e_2}···p_n^{e_n}$
$数x约数的个数=(e_1+1)
(e_2+1)···(e_n+1)$

120=2^3 * 3 * 5

120约数的个数有(3+1) * (1+1)*(1+1)= 16

要求

输入一个整数n,输出它约数的个数。(1<n<10^9)

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/*
* 求约数的个数
* */
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 4e4;
vector<int> prime;
bool isPrime[MAXN];

/*
* 质数筛法
* */
void Initial(){
fill(isPrime, isPrime + MAXN, true);// 先假设所有数是质数
isPrime[0] = false;
isPrime[1] = false;
for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
if (!isPrime[i]) { // 不是质数就继续
continue;
}
prime.push_back(i);//是质数就添加到向量中
if (i > MAXN / i) { // 预防i*i越界,提前判断一下
continue;
}
for (int j = i*i; j < MAXN; j+=i) {
isPrime[j] = false;
}

}
}
/*
* 求约数个数
* */
int NumberOfFactors(int number){
int answer = 1;
for (int i = 0; i < prime.size(); ++i) {
int factor = prime[i];
if (number < factor) {
break;
}
int exponent = 0; //记录被除以的次数,即它的指数
while (number % factor == 0) { //不停的除以这个质数,知道除不动
exponent++;
number /= factor;
}
answer *= exponent + 1;
}
if (number > 1) {
answer *= 2;
}
return answer;
}
int main(){
Initial();
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%d\n", NumberOfFactors(n));
return 0;
}

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三国小梦
文章作者:三国小梦
文章出处使用c++求质数、质因数个数和约数个数
作者签名:简单地活着, 肆意又精彩.
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